Question

（2004•淄博）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，AD=，高DE=2．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．
（1）求BC邊所在直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)F為直線BC與y軸的交點(diǎn)，求經(jīng)過點(diǎn)B，D，F(xiàn)的拋物線解析式；
（3）判斷?ABCD的對角線的交點(diǎn)G是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意不難得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，因此本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，可過C作CH⊥x軸于H，可在直角三角形CBH中，根據(jù)CH和BC的長求出BH的長，也就求出了OH的長，由此可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；
（2）仿照（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)的方法不難得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，而F點(diǎn)的坐標(biāo)可用直線BC的解析式求得，由此可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）過G作x軸的垂線GM，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，不難得出GM是△ACH的中位線，因此G點(diǎn)的橫坐標(biāo)是C點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，縱坐標(biāo)是C點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，然后將G點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可判斷出G點(diǎn)是否在拋物線上．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，
在Rt△BCH中，BC=AD=，CH=DE=2，
∴BH==1，
又∵AB=3，
∴AH=AB+BH=4．
∴B（3，0），C（4，2）．
設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，
將B（3，0），C（4，2）代入得，
解得k=2，b=-6，
∴BC邊所在直線的解析式為y=2x-6；（3分）

（2）在Rt△ADE中，AE=1，
∴D（1，2），
設(shè)點(diǎn)F（0，b），代入y=2x-6，得b=-6，
∴F（0，-6）．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B，D，F(xiàn)的拋物線為y=ax²+bx+c，
由題意，得，
解得a=-3，b=11，c=-6．
∴拋物線的解析式為y=-3x²+11x-6；

（3）?ABCD對角線的交點(diǎn)G不在（2）中的拋物線上．
連接AC、BD相交于G，過G作GM⊥x軸于M，則GM∥CH∥DE．
∵AG=GC，
∴AM=MH=AH=2，GM=CH=1，
∴點(diǎn)G（2，1）．
把x=2，代入y=-3x²+11x-6，得y=4≠1，
∴點(diǎn)G（2，1）不滿足y=-3x²+11x-6，
即（2）中的拋物線不經(jīng)過□ABCD的對角線的交點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、中位線定理等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．