Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，∠B=90°，OA=6，AB=4，BC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿O?C?B?A的方向以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也從原點(diǎn)出發(fā)，在線段OA上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段OC的長；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以C、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求線段OC的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)，只要從C作CD⊥OA交OA于D，利用正方形的性質(zhì)就可讀出點(diǎn)C的坐標(biāo)及求出CD，OD長，然后利用勾股定理求OC的長．
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；就要利用三角形的面積公式計(jì)算．要計(jì)算三角形的面積就又要利用速度公式計(jì)算出三角形的底和高，然后利用面積公式計(jì)算．注意計(jì)算面積時(shí)，要根據(jù)點(diǎn)P的位置，分情況而計(jì)算．
（3）不存在，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在CB上時(shí)，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，要證明可先設(shè)一假設(shè)，證明假設(shè)不成立．

解答：解：（1）過C作CD⊥OA交OA于D，
∵CD=AB=4，AD=BC=3，
∴OD=OA-AD=3，（2分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）（1分），
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=5．（1分）

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在OC上，即0≤t≤

5

2

時(shí)，
過P作PH⊥OA于點(diǎn)H，則PH∥CD，
∴△OPH∽△OCD，
∴

PH

CD

=

OP

OC

，即

PH

4

=

2t

5

，
∴PH=

8t

5

，
∴S=

1

2

OQ•PH=

1

2

•t•

8t

5

=

4

5

t2（2分）；
②當(dāng)點(diǎn)P在CB上，即

5

2

≤t≤4時(shí)，
∴S=

1

2

OQ•CD=

1

2

•t×4=2t．（2分）
③當(dāng)點(diǎn)P在BA上，即4≤t≤6時(shí)，
∴S=

1

2

OQ•AP=

1

2

•t•(12-2t)=-t2+6t．（2分）

（3）不存在（1分）
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在CB上時(shí)，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，
假設(shè)CB上存在點(diǎn)P使△CPQ為等腰三角形，則CQ=PQ，
過Q作QG⊥BC交BC于G，則CG=PG=DQ，
∴2t-5=2（t-3），
∴-5=-6，不成立，
∴假設(shè)不成立，
∴當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段CB上時(shí)，不存在以C，P，Q，
三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形，梯形和直角坐標(biāo)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．