Question

如圖，直線l：y=

4

3

x+4交x軸、y軸于A、B點，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，AD=12．
（1）寫出點A、B、C的坐標；
（2）若直線l沿x軸正方向平移m（m＞0）個單位長度，與BC、AD分別交于E、F點，當四邊形ABEF的面積為24時，求直線EF的表達式以及點F到腰CD的距離；
（3）若B點沿BC方向，從B到C運動，速度為每秒1個單位長度，A點同時沿AD方向，從A到D運動，速度為每秒2個單位長度，經(jīng)過t秒后，A到達P處，B到達Q處，問：是否存在t，使得△PQD為直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0，y=0求出A、B的坐標．又因為線段BC平行與x軸，易求點C的坐標．
（2）本題有多種證法．證明四邊形ABEF為平行四邊形求出m的值．設(shè)直線EF的解析式為y=

4

3

x+b．利用勾股定理以及三角函數(shù)值求出有關(guān)線段的長．然后利用輔助線的幫助求出點F到腰CD的距離．
（3）本題要依靠輔助線的幫助．過點Q作QK⊥AD于K，根據(jù)勾股定理求出PQ，DQ的值．然后分情況討論t的值．（∠QDP≤∠CDP；∠DPQ=90°；∠PQD=90°）

解答：解：（1）令x=0，則y=4；y=0，則x=-3．
∴A（-3，0），B（0，4），C（6，4）．

（2）∵BC∥AD，EF∥AB，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．
∴S_ABEF=AF×OB=4m，又S_ABEF=24，
∴m=6．
∴F（3，0）．
設(shè)直線EF的表達式為y=

4

3

x+b，
則0=

4

3

×3+b，b=-4，
∴直線EF的表達式為y=

4

3

x-4．
過點C作CG⊥AD于G．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，CD=

CG2+DG2

=

42+32

=5sin∠CDG=

CG

CD

=

4

5

．
過點F作FH⊥CD于H．
在Rt△FHD中，F(xiàn)D=AD-AF=12-6=6

FH

FD

=sin∠HDF，即

FH

6

=

4

5

，
∴FH=

24

5

．
即點F到腰CD的距離為

24

5

．
證法二：利用相似可以求得．
過點C作CG⊥AD于G，過點F作FH⊥CD于H．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，CD=

CG2+DG2

=

42+32

=5，
在Rt△FHD中，F(xiàn)D=AD-AF=12-6=6．
由Rt△CGD∽Rt△FHD得

CG

FH

=

CD

FD

即

4

FH

=

5

6

，∴FH=

24

5

，即點F到腰CD的距離為

24

5

．

（3）過點Q作QK⊥AD于K，依題意，得
BQ=t，AP=2t，PD=12-t，PK=|t-3|，DK=9-t，0≤t＜6．
于是PQ²=4²+（t-3）²=t²-6t+25；
DQ²=4²+（9-t）²=t²-18t+97PD²=（12-2t）²=4t²-48t+144．
①∵∠QDP≤∠CDP，
∴∠QDP不可能為直角．
②若∠DPQ=90°，則PQ²+PD²=DQ²，t²-6t+25+4t²-48t+144=t²-18t+97．
整理得t²-9t+18=0．
解得t=3或t=6（舍去）．
③若∠PQD=90°，則PQ²+DQ²=PD²，t²-6t+25+t²-18t+97=4t²-48t+144．
整理得t²-12t+11=0，解得t=1或t=11（舍去）．
綜上所述，當t=3或t=1時，△PQD為直角三角形．

點評：本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識，一次函數(shù)的綜合利用以及勾股定理的應(yīng)用，難度較大．