Question

如圖，已知拋物線C：y=x²-2x+4和直線l：y=-2x+8．直線y=kx（k＞0）與拋物線C交于兩個不同的點A、B，與直線l交于點P，
分別過A、B、P作x軸的垂線，設垂足分別為A₁，B₁，P₁．
（1）證明：

1

OA1

+

1

OB1

=

2

OP1

；
（2）是否存在實數(shù)k，使A₁A+B₁B=8？如果存在，求出此時k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=kx（k＞0）與拋物線C交于兩個不同的點A、B，將兩函數(shù)組成方程組得出k的取值范圍，再將兩直線組成方程組得出求出x的值，即可證明結(jié)論的正確性；
（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂，得出AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8再結(jié)合k的取值范圍得出答案．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
由

y=kx y=x2-2x+4

，
得x²-（2+k）x+4=0，
又由△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6，
x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，
OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

1

x1

+ 

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2+k

4

，
由

y=kx y=-2x+8

，得：
（k+2）x=8，
∴x=

8

k+2

，
∴OP1=

8

k+2

，

2

OP1

=

k+2

4

，結(jié)論成立；

（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂
∴AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8，
即k²+2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-4，
由△＞0有k＞2或k＜-6，
故不存在實數(shù)k滿足條件．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合性題目以及函數(shù)圖象交點的求法等知識點，主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．