Question

(1) 填空：如圖1，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN，連結(jié)PN、SM相交于點O，則∠POM=_____度 .

(2) 如圖2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°. 以此為部分條件，構(gòu)造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）90(2) 已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接AF、DE相交于G，則∠AGE=120°，證明見解析

【解析】（1）90，

∵QM=RN，

∴RM=SN，

∵∠PSN=∠SRM=90°，SP=SR，

∴△PSN≌△SRM，

∴∠SPN=∠RSM，

∵∠RSM+∠MSP=90°，

∴∠POM=90°

（2）構(gòu)造的命題為：

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接AF、DE相交于G，則∠AGE=120°．

證明：由已知，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=DA，∠ABC=60°，

∴∠ADC=∠C=120°，

∵BC=CD，BE=CF，

∴CE=DF；

在△DCE和△ADF中，

∴△DCE≌△ADF（SAS），

∴∠CDE=∠DAF，

又∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60°，

∴∠CDE+∠AFD=60°，

∴∠AGE=∠DGF=180°-（∠CDE+∠AFD）=180°-60°=120°．

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)容易得到全等條件證明△PSN≌△SRM，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以得到∠POM=90°．

（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造命題要抓住它們的相同的地方，有三條鄰邊相等，并且已知一個角．命題的證明主要利用題目的已知條件證明△DCE≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．