Question

【題目】（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）．

【解析】

試題（1）根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠EAC=∠ABC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結(jié)合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB，CD于點(diǎn)N，M，根據(jù)切割線定理求得EC=4，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對(duì)稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用證明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．

試題解析：（1）∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖，連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB，CD與點(diǎn)N，M，∵AE是⊙O的切線，由切割線定理得，AE2=ECDE，∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去負(fù)數(shù)），由圓的對(duì)稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，又根據(jù)對(duì)稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，設(shè)OF=x，OH=Y，F(xiàn)H=z，∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，易得△OFH∽△DMF∽△BFN，∴，，即，①， ②，①+②得：，∴，①÷②得：，解得：，∵，∴，∴x=，∴OF=．