Question

已知，△ABC中，AB=AC=2，BC=2

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，∠A=90°．取一塊含45°角的直角三角尺，將直角頂點(diǎn)放在斜邊BC邊的中點(diǎn)O處，一條直角邊過A點(diǎn)（如圖1）．三角尺繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使90°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖2）．設(shè)BE=x，CF=y．
（1）探究：在圖2中，線段AE與CF有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）求在上述旋轉(zhuǎn)過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若將直角三角尺45°角的頂點(diǎn)放在斜邊BC邊的中點(diǎn)O處，一條直角邊過A點(diǎn)（如圖3）．三角尺繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使45°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖4）．在三角尺繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，△OEF是否能成為等腰三角形？若能，直接寫出△OEF為等腰三角形時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先得出，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，∠EOA=∠FOC，進(jìn)而得出△EOA≌△FOC，即可得出答案；
（2）利用AE=CF，得出BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，即可得出答案；
（3）利用OE=EF時(shí)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，當(dāng)OE=OF時(shí)，BE=BO=CO=CF=

2

，當(dāng)EF=OF時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）AE=CF．
理由：連接AO．如圖2，
∵AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC，
在△EOA和△FOC中，

∠EOA=∠COF AO=CO ∠OAE=∠C

∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE=CF．

（2）∵AE=CF，∴BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=2-x．
x的取值范圍是：0≤x≤2．

（3）△OEF能構(gòu)成等腰三角形．
當(dāng)OE=EF時(shí)，如圖3，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，BE=AE=1，即x=1，
當(dāng)OE=OF時(shí)，如圖4，BE=BO=CO=CF=

2

，即x=

2

，
當(dāng)EF=OF時(shí)，如圖5，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，即x=2，
綜上所述：△OEF為等腰三角形時(shí)x的值為1或

2

或2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．