Question

將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊

AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD．

(1)填空：如圖9，AC=         ，BD=         ；四邊形ABCD是       梯形.

(2)請寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值值范圍.

 

Answer 1

解：（1），，…………………………1分

等腰；…………………………2分

   （2）共有9對相似三角形.（寫對3－5對得1分，寫對6－8對得2分，寫對9對得3分）

  �、佟鱀CE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5對)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2對)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2對)

所以，一共有9對相似三角形.…………………………………………5分

 

（3）由題意知，FP∥AE，

    ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.…………………………6分

過點P作PK⊥FB于點K，則.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，. ……………………7分

∴ △FBP的面積，

∴ S與t之間的函數關系式為：

      ，或. …………………………………8分

t的取值范圍為：. …………………………………………………………9分