Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于

1

2

MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于D，下列四個結(jié)論：
①AD是∠BAC的平分線；
②∠ADC=60°；
③點D在AB的中垂線上；
④S_△ACD：S_△ACB=1：3．
其中正確的有（　�。�

A．只有①②③

B．只有①②④

C．只有①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：利用角平分線的性質(zhì)以及各內(nèi)角度數(shù)和三角形面積求法分別得出即可．

解答：解：根據(jù)作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正確；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴點D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∵AD=DB，
∴CD=

1

2

DB，
∴CD=

1

3

CB，
S_△ACD=

1

2

CD•AC，S_△ACB=

1

2

CB•AC，
∴S_△ACD：S_△ACB=1：3，故④正確，
故選：D．

點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAC=∠DAB=30°是解題關(guān)鍵．