(2006•漳州)如圖,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取兩點E,F(xiàn)(E在F左邊),以EF為邊作等邊三角形PEF,使頂點P在AD上,PE,PF分別交AC于點G,H.
(1)求△PEF的邊長;
(2)在不添加輔助線的情況下,當F與C不重合時,從圖中找出一對相似三角形,并說明理由;
(3)若△PEF的邊EF在線段BC上移動.試猜想:PH與BE有何數(shù)量關系并證明你猜想的結論.

【答案】分析:(1)由題意知,等邊△EFP的高與矩形的AB邊相等從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得其邊長;
(2)根據(jù)已知及相似三角形的判定方法即可證得相似三角形;
(3)根據(jù)已知利用余切及三角形內外角的性質不難求得PH與BE的關系.
解答:解:(1)過P作PQ⊥BC于Q,
∵矩形ABCD,
∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC.
∴PQ=AB=
∵△PEF是等邊三角形,
∴∠PFQ=60°.
在Rt△PQF中sin60°=,
∴PF=2.
∴△PEF的邊長為2.

(2)方法一:△ABC∽△CDA.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC∽△CDA.
方法二:△APH∽△CFH.
理由:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠1,
又∵∠3=∠4,
∴△APH∽△CFH.

(3)猜想:PH與BE的數(shù)量關系是:PH-BE=1,
證法一:在Rt△ABC中,AB=,BC=3,
∴tan∠1=
∴∠1=30°.
∵△PEF是等邊三角形,
∴∠2=60°,PF=EF=2.
∵∠2=∠1+∠3,
∴∠3=30°.
∴∠1=∠3.
∴FC=FH.
∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,F(xiàn)C=FH,EF=2,
∴BE+FC=3-2=1,
∴PH-BE=1.
證法二:在Rt△ABC中,AB=,BC=3,
∴tan∠1=
∴∠1=30°.
∵△PEF是等邊三角形,PE=2,
∴∠2=∠4=∠5=60°.
∴∠6=90°.
在Rt△CEG中,∠1=30°,
∴EG=EC,即EG=(3-BE).
在Rt△PGH中,∠7=30°,
∴PG=PH.
∴PE=EG+PG=(3-BE)+PH=2.
∴PH-BE=1.
證法三:在Rt△ABC中,AB=,BC=3,
∴tan∠1=,AC2=AB2+BC2∴∠1=30°,AC=2
∵△PEF是等邊三角形,
∴∠4=∠5=60°.(3分)
∴∠6=∠8=90°.
∴△EGC∽△PGH,


∵∠1=∠1,∠B=∠6=90°,
∴△CEG∽△CAB.

∴EG=(3-BE)②
把②代入①得,
∴PH-BE=1.
點評:此題主要考查學生對相似三角形的判定,等邊三角形的性質及矩形性質的綜合運用.
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