Question

（2010•房山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l₁：y=-

3

x+6

3

交x軸、y軸于A、B兩點，點M（m，n）是線段AB上一動點，點C是線段OA的三等分點．
（1）求點C的坐標；
（2）連接CM，將△ACM繞點M旋轉(zhuǎn)180°，得到△A′C′M．
①當BM=

1

2

AM時，連接A′C、AC′，若過原點O的直線l₂將四邊形A′CAC′分成面積相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；
②過點A′作A′H⊥x軸于H，當點M的坐標為何值時，由點A′、H、C、M構(gòu)成的四邊形為梯形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段OA的三等分點確定點C的坐標即可；
（2）①過點M作MN⊥y軸于點N，利用相似三角形的性質(zhì)得到點N的坐標，利用平行線的性質(zhì)及平行四邊形的對稱性確定點M的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；
②根據(jù)點C1的坐標，分點H在C點左側(cè)和點H在C點右側(cè)兩種情況并利用四邊形A'C₁HM是梯形求得點M的坐標即可．

解答：（1）根據(jù)題意：A（6，0），B（0，6

3

）
∵C是線段OA的三等分點
∴C（2，0）或C（4，0）

（2）①如圖，過點M作MN⊥y軸于點N，
則△BMN∽△BAO
∵BM=

1

2

AM
∴BM=

1

3

BA
∴BN=

1

3

BO
∴N（0，4

3

）
∵點M在直線y=-

3

x+6

3

上
∴M（2，4

3

）
∵△A'C'M是由△ACM繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到的
∴A'C'∥AC
∴無論是C₁、C₂點，四邊形A'CAC'是平行四邊形且M為對稱中心
∴所求的直線l₂必過點M（2，4

3

）
∴直線l₂的解析式為：y=2

3

x
②當C₁（2，0）時，
第一種情況：H在C點左側(cè)
若四邊形A'HC₁M是梯形
∵A'M與HC₁不平行
∴A'H∥MC₁此時M（2，4

3

）
第二種情況：H在C點右側(cè)
若四邊形A'C₁HM是梯形
∵A'M與C1H不平行
∴A'C₁∥HM
∵M是線段AA'的中點
∴H是線段AC₁的中點
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6

3

∴∠OAB=60°
∴點M的橫坐標為5
∴M（5，

3

）
當C₂（4，0）時，同理可得
第一種情況：H在C₂點左側(cè)時，M（4，2

3

）
第二種情況：H在C₂點右側(cè)時，M（

11

2

，

3

2

）
綜上所述，所求M點的坐標為：M（2，4

3

），M（5，

3

），M（4，2

3

）或M（

11

2

，

3

2

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，題目中還滲透了相似及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．