【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上,且OA=6,OB=8,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)及AB的長(zhǎng);

(2)若直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),射線DP分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、N,射線DMx軸于點(diǎn)M,連接MN

①當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時(shí),若PDM∽△MON,求點(diǎn)N的坐標(biāo);

②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,∠DMN的大小是否會(huì)發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】 (1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,4),AB=10;(2)①點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0, );②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化,理由見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)OA6,OB8,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,4),根據(jù)勾股定理可得AB10

2先過(guò)點(diǎn)DDCy軸于C,作DEx軸于E,則得出CD3OEDE4CO,∠DCN=∠DEM90°,再設(shè)ONx,則CN4x,判定△CDN∽△EDM,得出EM4x),判定△CDN∽△OPN,得出OP,再根據(jù)POMO,得出關(guān)于x的方程4x),求得x的值即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo);

先根據(jù)△CDN∽△EDM,得到,再根據(jù)OA6,OB8,得到,最后根據(jù),∠AOB=∠NDM90°,判定△AOB∽△NDM,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,可得∠DMN=∠OBA,進(jìn)而得到∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化.

1)∵OA6OB8,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,4),AB10;

2如圖,過(guò)點(diǎn)DDCy軸于C,作DEx軸于E,則

CD3OE,DE4CO,∠DCN=∠DEM90°,設(shè)ONx,則CN4x

∵∠CDE=∠PDM90°,∴∠CDN=∠EDM,∴△CDN∽△EDM,∴,即,∴EM4x).

CDPO,∴△CDN∽△OPN,∴,即,∴OP

∵△PDM∽△MON,∴∠NPO=∠NMO,∴PNMN

NOPM,∴POMO,即4x),解得:x110(舍去),x2,∴ON,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,);

在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化.理由如下:

可得:△CDN∽△EDM,∴,即

又∵OA6,OB8,∴,∴,即

又∵∠AOB=∠NDM90°,∴△AOB∽△NDM,∴∠DMN=∠OBA

∵∠OBA大小不變,∴∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化.

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(1)先作ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的A1B1C1,再把A1B1C1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到A2B2C2

(2)A2B2C2ABC是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱?若是,直接寫(xiě)出對(duì)稱中心的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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