Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點(diǎn)在拋物線上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣

（2）

解：∵拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ，

∴其對(duì)稱軸為直線x=﹣ =﹣ =2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣ ），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

當(dāng)x=2時(shí)，y=1﹣ =﹣ ，

∴P（2，﹣ ）

（3）

解：存在．

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，﹣ ），

∴N1（4，﹣ ）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，

如圖，過(guò)點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，

在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC= ，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．

∴ x2﹣2x﹣ = ，

解得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．