Question

如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點(diǎn)，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP．
（1）求∠OAC的度數(shù)；
（2）如圖①，當(dāng)CP與⊙A相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時(shí)，CP的延長(zhǎng)線與⊙A相交于點(diǎn)Q，問PO為何值時(shí)，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是個(gè)等腰三角形，因?yàn)椤螦OC=60°，三角形AOC是個(gè)等邊三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數(shù)，有A點(diǎn)的坐標(biāo)也就有了AC的長(zhǎng)，可根據(jù)余弦函數(shù)求出PA的長(zhǎng)，然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本題分兩種情況：
①以O(shè)為頂點(diǎn)，OC，OQ為腰．那么可過C作x軸的垂線，交圓于Q，此時(shí)三角形OCQ就是此類情況所說的等腰三角形；那么此時(shí)PO可在直角三角形OCP中，根據(jù)∠COA的度數(shù)，和OC即半徑的長(zhǎng)求出PO．
②以Q為頂點(diǎn)，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過圓心，如果設(shè)垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據(jù)∠QAE的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)求出Q的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點(diǎn)，也就求出了PO的值．
解答：解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°．

（2）∵CP與⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①過點(diǎn)C作CP₁⊥OB，垂足為P₁，延長(zhǎng)CP₁交⊙A于Q₁；
∵OA是半徑，
∴，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等邊三角形，
∴P₁O=OA=2；
②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)DA交⊙A于Q₂，CQ₂與x軸交于P₂；
∵A是圓心，
∴DQ₂是OC的垂直平分線，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
過點(diǎn)Q₂作Q₂E⊥x軸于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，
∴Q₂E=AQ₂=2，AE=2，
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)（4+，-2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)（2，）；
設(shè)直線CQ₂的關(guān)系式為y=kx+b，則
，
解得，
∴y=-x+2+2；
當(dāng)y=0時(shí)，x=2+2，
∴P₂O=2+2．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)、圓的切線，等邊三角形的判定以及垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)．要注意（3）中的等腰三角形要按頂點(diǎn)和腰的不同來分類討論．