Question

(2006，棗莊)半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC∶CA=4∶3，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O．

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D． ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°． ∴AB=5，BC∶CA=4∶3， ∴BC=4，BC=3． 又∵AC·BC=AB·CD ∴，． 在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB=∠PCQ=90°， ∠CAB=∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ∴，． (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E(如圖)． ∵P是弧AB的中點(diǎn)， ∴∠PCB=45°， 又∠CPB=∠CAB ∴ ∴，從而 由(1)得． (3)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有． 故PC最大時(shí)，CQ取到最大值． 當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ最大值為．