Question

【題目】如圖l，在矩形ABCD中，BC>AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．

（1）求證：△DOK≌△BOG；

（2）求證：AB+AK=BG:

（3）如圖2，若KD=KG=2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重臺），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設(shè)PD=x，S△PMN=y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）先根據(jù)AAS判定△DOK≌△BOG，（2）再根據(jù)等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質(zhì)，得出結(jié)論BG=AB+AK；（3）利用△DKG∽△PKM∽△DPN，由相似三角形的性質(zhì)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC

∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO

∵點O是BD的中點

∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）

（2）∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠BFA=45°

∴AB=BF

∵OK∥AF，AK∥FG

∴四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG

∵BG=BF+FG

∴BG=AB+AK

（3）解法一：

如圖，過點G作GI⊥KD于點I，

由（2）知，四邊形AFGK是平行四邊形，△ABF為等腰直角三角形.

∴AF=KG=2, .

∵四邊形ABCD是矩形，

∴GI=AB=,。

∵PD=x

∴PK=2﹣x

∵PM∥DG，PN∥KG

∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN

∴，

即

同理，

.

解法二：

如圖，過點P作PQ⊥KG于點Q，

∴KD=KG，∠KDG=∠KGD

又∵PN∥KG

∴∠PND=∠KGD

∴∠PND=∠KDFG

∴PN=PD=x.

∵AF∥KG，

∴∠PKM=∠DAF=45°，又∵PK=2﹣x

∴

又∵PN∥KG，

.

“點睛”本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題時需要運用全等三角形的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質(zhì)，并根據(jù)圖形面積的等量關(guān)系列出方程進行求解，難度較大，具有一定的綜合性．