Question

如圖，△ABM與△CDM是兩個全等的等邊三角形，MA⊥MD．有下列四個結論：（1）∠MBC=25°；（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直線MB垂直平分線段CD；（4）四邊形ABCD是軸對稱圖形．其中正確結論的個數為（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABM和△CDM是全等的等邊三角形，那么可知這兩個三角形的內角都等于60°，所有的邊都相等，即知∠AMB=∠CMD=60°，又MA⊥MD，故∠AMD=90°，利用周角概念可求∠BMC，而BM=CM，結合三角形內角和等于180°，可求∠MBC、∠MCB；
（2）由于MA⊥MB，則∠AMD=90°，而MA=MD，那么∠MDA=45°，又∠MDC=60°，可求∠ADC=105°，由（1）中可知∠MBC=15°，則∠ABC=60°+15°=75°，所以∠ADC+∠ABC=180°；
（3）延長BM交CD于N，∠NMC是△BMC的外角，可求∠NMC=30°，即知MN是△CDM的角平分線，根據等腰三角形三線合一性質可知MB垂直平分CD；
（4）利用（2）中的方法可求∠BAD=105°，∠BCD=75°，易證∠BAD+∠ABC=180°，則AD∥BC，又∵AB=DC，可證四邊形ABCD是等腰梯形，從而可知四邊形ABCD是軸對稱圖形．
解答：解：（1）∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等邊三角形，
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，
又∵MA⊥MD，
∴∠AMD=90°，
∴∠BMC=360°-60°-60°-90°=150°，
又∵BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB=15°；

（2）∵AM⊥DM，
∴∠AMD=90°，
又∵AM=DM，
∴∠MDA=∠MAD=45°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∠ABC=60°+15°=75°，
∴∠ADC+∠ABC=180°；

（3）延長BM交CD于N，
∵∠NMC是△MBC的外角，
∴∠NMC=15°+15°=30°，
∴BM所在的直線是△CDM的角平分線，
又∵CM=DM，
∴BM所在的直線垂直平分CD；

（4）根據（2）同理可求∠DAB=105°，∠BCD=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形ABCD是軸對稱圖形．
故（2）（3）（4）正確．
故選C．
點評：本題利用了等邊三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外角性質、平行線的判定、梯形的判定、等腰三角形三線合一定理、軸對稱的判定．