Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N．

（1）設(shè)AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接ME，設(shè)MN交BE于P，根據(jù)題意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
過N作AB的垂線交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA與Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）2=x2+AM2．
4-4AM+AM2=x2+AM2，即4-4AM=x2，
解得AM=1- x2．
所以梯形ADNM的面積S= ×AD= ×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1- x2）+x=- x2+x+2
即所求關(guān)系式為s=- x2+x+2．

（2）

解：s=- x2+x+2=- （x2-2x+1）+ =- （x-1）2+

故當(dāng)AE=x=1時(shí)，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是 .

【解析】（1）通過做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用勾股定理整理出相應(yīng)的關(guān)系式，利用梯形的面積公式來解決問題.（2）注意對(duì)二次函數(shù)解析式整理時(shí)用頂點(diǎn)式進(jìn)行整理簡(jiǎn)單