Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）試判斷直線AD與CD的位置關系，并說明理由；
（2）連接BC，若AD=2，AC=，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）很顯然是垂直關系，AC平分∠DAB，∠DAC=∠BAC；連接OC后，OA=OC，∠OAC=∠DAC，那么∠DAC=∠OCA，于是OC∥AD，很顯然OC⊥CD，那么AD⊥CD；
（2）本題的關鍵是求BC的長，根據(jù)（1）中相等的角，我們不難得出三角形ADC和ABC相似；可先在直角三角形ACD中，求出DC的值，然后根據(jù)相似三角形得出的比例關系求出BC的長，從而求出ABC的面積．
解答：解：（1）連接OC，則OC⊥CD；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
∵OC⊥CD，
∴AD⊥CD；

（2）連接BC，那么∠ACB=90°，
在直角三角形ADC中，AD=2，AC=，根據(jù)勾股定理可得：CD=1；
由（1）知：∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=DC：BC，
∴BC=DC•AC÷AD=，
∴三角形ACB的面積=•BC•AC=．
點評：本題主要考查了切線的性質和圓周角定理的應用．