Question

（2013•廣東模擬）我市某工藝廠為配合北京奧運，設(shè)計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）當銷售單價定為多少時，試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）銷售部門規(guī)定該工藝品單價不得超過48元，要想每天獲得8750元利潤，單價應(yīng)定為多少元？

Answer 1

分析：（1）首先描點，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，任選兩點求表達式，再驗證猜想的正確性；
（2）根據(jù)總利潤=銷售總價-成本總價=單件利潤×銷售量．據(jù)此得表達式，運用性質(zhì)求最值；
（3）根據(jù)要想每天獲得8750元利潤，得出一元二次方程進而求出即可．

解答：解：（1）將各點在坐標系中描出，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)這個一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），
∵這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（30，500）、（40，400）這兩點，
∴

500=30k+b 400=40k+b

，
解得：

k=-10 b=800

，
故函數(shù)關(guān)系式是：y=-10x+800．

（2）設(shè)該廠試銷該小鏡子每天獲得的利潤是W元，
依題意得W=（x-20）（-10x+800）=-10x²+1000x-16000=-10（x-50）²+9000
當x=50時，W有最大值9000元．
所以，當銷售單價定為50元∕個時，該廠試銷小鏡子每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）要想每天獲得8750元利潤，則8750=-10（x-50）²+9000，
整理得出：（x-50）²=25，
解得：x₁=55，x₂=45，
∵銷售部門規(guī)定該工藝品單價不得超過48元，
∴55不合題意舍去，
答：要想每天獲得8750元利潤，單價應(yīng)定為45元．

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，要運用圖表中的信息，學會用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式并將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題．