如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上,M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn).
(1)連接BD,AE,求證:△BCD≌△ACE;
(2)猜想圖1中的MN與OM的數(shù)量關(guān)系(直接寫(xiě)出結(jié)果);
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)(備用圖2)后,其他條件不變,(2)中的結(jié)論仍然成立嗎?若是,畫(huà)出圖形并證明;若不是,說(shuō)明理由.
分析:(1)由AB為圓O的直徑,得到∠ACB為直角,再由∠ABC=45°,得到△ABC為等腰直角三角形,即AC=BC,利用SAS得出△BCD與△ACE全等即可;
(2)MN=
2
OM,理由為:連接ON,延長(zhǎng)BD交AE于F,先證明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=
1
2
BD,OM=
1
2
AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,即可得到結(jié)論;
(3)結(jié)論仍然成立,證明的方法和(2)一樣.
解答:解:(1)∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=45°,
∴AC=BC,
∵在△BCD和△ACE中,
BC=AC
∠ACB=∠ACE=90°
DC=DE
,
∴△BCD≌△ACE(SAS);

(2)MN=
2
OM,理由為:連接ON,延長(zhǎng)BD交AE于F,如圖1所示,
∵在△BCD和△ACE中,
BC=AC
∠ACB=∠ACE=90°
DC=DE
,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BF⊥AE,
又∵M(jìn)是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),而O為AB的中點(diǎn),
∴ON=
1
2
BD,OM=
1
2
AE,ON∥BD,AE∥OM;
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,
∴MN=
2
OM;

(3)結(jié)論仍然成立,即MN=
2
OM,
畫(huà)出正確圖形,如圖2所示,連接BD,AE,ON,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=45°,
∴AC=BC,
∵在△BCD和△ACE中,
BC=AC
∠ACB=∠ACE=90°
DC=DE
,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD,∠DBE=∠EAC,
∴∠DBE+∠BEA=90°,
∴BD⊥AE,
∵O,N為中點(diǎn),
∴ON∥BD,ON=
1
2
BD,
同理OM∥AE,OM=
1
2
AE,
∴OM⊥ON,OM=ON,
∴MN=
2
OM.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì),三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),是一道綜合性較強(qiáng)的探究題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上.
(1)證明:B、C、E三點(diǎn)共線;
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),證明:MN=
2
OM;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖2),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),M1N1=
2
OM1是否成立?若是,請(qǐng)證明;若精英家教網(wǎng)不是,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在⊙O中AB是直徑,D是上半圓中點(diǎn),E是下半圓中點(diǎn).點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)(不與B、E重合)連接AD、BD、AC、BC.設(shè)BC長(zhǎng)度為n,AC長(zhǎng)度為m.
(1)當(dāng)m=8,n=6時(shí),求四邊形ACBD的面積S;
(2)用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S;
(3)你可知道tan∠DAC=
m+nm-n
嗎?請(qǐng)你詳細(xì)說(shuō)明理由;
(4)如圖,當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至弧AD或弧BD上時(shí),(3)中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)精英家教網(wǎng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)用含m、n的式子表示tan∠DAC.(直接寫(xiě)答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•尤溪縣質(zhì)檢)如圖①,在⊙O中AB是直徑,D是上半圓中點(diǎn),E是下半圓中點(diǎn),點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)(不與B、E重合)連接AD、BD、AC、BC.設(shè)BC長(zhǎng)度為n,AC長(zhǎng)度為m.
(1)用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S;
(2)證明:tan∠DAC=
m+n
m-n

(3)如圖②③,當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至
AD
BD
上時(shí),②中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)用含m、n的式子表示tan∠DAC.(直接寫(xiě)答案,并選擇其中一種證明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖甲,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=45°,等腰直角△DCE中,∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上.
(1)問(wèn)B、C、E三點(diǎn)在一條直線上嗎?為什么?
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),試求
MN
OM
的值;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖乙),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),則
MN
OM
=
2
2

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