精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:y=x2-2x的圖象如圖所示,把C1的圖象沿y軸翻折,得到拋物線C2的圖象,拋物線C1與拋物線C2的圖象合稱圖象C3
(1)求拋物線C1的頂點A坐標,并畫出拋物線C2的圖象;
(2)若直線y=kx+b與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)有且只有一個交點時,稱直線與拋物線相切.若直線y=x+b與拋物線C1相切,求b的值;
(3)結(jié)合圖象回答,當直線y=x+b與圖象C3有兩個交點時,b的取值范圍.
分析:(1)用配方法將C1化為頂點坐標式,即可得到它的頂點坐標;由于C2、C1關(guān)于y軸對稱,那么C2、C1的開口方向和開口大小都相同,而它們的頂點坐標也關(guān)于y軸對稱,可據(jù)此畫出C2的圖象.
(2)聯(lián)立直線y=x+b和拋物線C1的解析式,消去y后可得到關(guān)于x的一元二次方程,若兩函數(shù)圖象只有一個交點,那么方程的判別式△=0,由此求得b的值①.
(3)可參照(2)的解法求出當直線y=x+b與C2相切時b的值②,若此直線與C3有兩個交點,那么b的取值范圍必在①②的范圍之內(nèi),由此得解.
解答:解:(1)∵拋物線C1:y=x2-2x=(x-1)2-1;
∴頂點坐標A(1,-1).(1分)
圖如右圖;(2分)精英家教網(wǎng)

(2)
y=x+b(1)
y=x2-2x(2)

把(1)式代入(2)
整理得:x2-3x-b=0;
△=9+4b=0,b=-
9
4
.(4分)

(3)∵C1的圖象沿y軸翻折,得到拋物線C2的圖象,
∴由題意可得出:拋物線C2:y=x2+2x,
y=x+b(1)
y=x2+2x(2)

把(1)式代入(2)
整理得:x2+x-b=0;
△=1+4b=0,b=-
1
4
.(6分)
∴當直線y=x+b與圖象C3有兩個交點時,b的取值范圍為:-
9
4
<b<-
1
4
.(7分)
點評:此題主要考查函數(shù)圖象的幾何變換、函數(shù)圖象交點坐標的求法、根的判別式等知識,難度適中.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C1與坐標軸的交點依次是A(-4,0),B(-2,0),E(0,8).
(1)求拋物線C1關(guān)于原點對稱的拋物線C2的解析式;
(2)設(shè)拋物線C1的頂點為M,拋物線C2與x軸分別交于C,D兩點(點C在點D的左側(cè)),頂點為N,四邊形MDNA的面積為S.若點A,點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動;與此同時,點M,點N同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動,直到點A與點D重合為止.求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)當t為何值時,四邊形MDNA的面積S有最大值,并求出此最大值;
(4)在運動過程中,四邊形MDNA能否形成矩形?若能,求出此時t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=-x2+2mx+1(m為常數(shù),且m≠0)的頂點為A,與y軸交于點C;拋物線C2與拋物線C1關(guān)于y軸對稱,其頂點為B.若點P是拋物線C1上的點,使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,則m為(  )
A、±
3
B、
3
C、±
2
D、
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點A的橫坐標是-1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關(guān)于點A成中心對稱時,求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點Q是x軸負半軸上一動點,將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求頂點N的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•房山區(qū)一模)已知拋物線C1:y=ax2+4ax+4a-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
(1)求拋物線的解析式和頂點P的坐標;
(2)將拋物線沿x軸翻折,再向右平移,平移后的拋物線C2的頂點為M,當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時,求平移后的拋物線C2的解析式;
(3)直線y=-
35
x+m
與拋物線C1、C2的對稱軸分別交于點E、F,設(shè)由點E、P、F、M構(gòu)成的四邊形的面積為s,試用含m的代數(shù)式表示s.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=-x2+2mx+1(m為常數(shù),且m≠0)的頂點為A,與y軸交于點C;拋物線C2與拋物線C1關(guān)于y軸對稱,其頂點為B.若點P是拋物線C1上的點,使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,則m的值為
±
3
±
3

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