Question

（2011•西藏）如圖，直線y=kx-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且

OB

OC

=

1

2

．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k值；
（2）若點(diǎn)A（x，y）是直線y=kx-3上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）探究：
①當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積為

9

4

，并說明理由；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線y=kx-3與y軸的交點(diǎn)，則OC的長度即可求解，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入解析式即可求得k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）分O，P，A分別是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）在y=kx-3中，令x=0，則y=-3，故C的坐標(biāo)是（0，-3），OC=3，
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

3

2

，則B的坐標(biāo)是：（

3

2

，0），
把B的坐標(biāo)代入y=kx-3，得：

3

2

k-3=0，解得：k=2；

（2）OB=

3

2

，
則S=

1

2

×

3

2

（2x-3）=

3

2

x-

9

4

；

（3）①根據(jù)題意得：

3

2

x-

9

4

=

9

4

，解得：x=3，則A的坐標(biāo)是（3，3）；
②OA=

32+32

=3

2

，
當(dāng)O是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)，P的坐標(biāo)是（-3

2

，0）或（3

2

，0）；
當(dāng)A是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)，P與過A的與x軸垂直的直線對(duì)稱，則P的坐標(biāo)是（6，0）；
當(dāng)P是△AOP的頂角頂點(diǎn)時(shí)，P在OA的中垂線上，OA的中點(diǎn)是（

3

2

，

3

2

），
與OA垂直的直線的斜率是：-1，設(shè)直線的解析式是：y=-x+b，把（

3

2

，

3

2

）代入得：

3

2

=-

3

2

+b，
解得：b=3，
則直線的解析式是：y=-x+3，令y=0，解得：x=3，則P的坐標(biāo)是（3，0）．
故P的坐標(biāo)是：（-3

2

，0）或（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．