Question

（2008•南通）已知雙曲線y=與直線y=相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標是（-8，0），求A、B兩點坐標及k的值；
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將D的坐標可得B的橫坐標，代入解析式可得B的坐標，又有A、B兩點關于原點對稱，易得k的值；
（2）根據題意B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，可得BCD的坐標關于mn的表達式，進而可以表示出矩形的面積；代入數據可得答案；
（3）分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為-a，易得pq關于a的關系式，作p-q可得p-q=．
解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B點的橫坐標為-8，代入y=x中，得y=-2，
∴B點坐標為（-8，-2），
而A、B兩點關于原點對稱，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴mn=k，B（-2m，-），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S_矩形DCNO=2mn=2k，
∴S_△DBO=mn=k，
∴S_△OEN=，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直線y=x及雙曲線，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
設直線CM的解析式是y=ax+b，
由C、M兩點在這條直線上，得，
解得，
∴直線CM的解析式是；

（3）如圖1，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，
設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為-a，
于是p=，
同理，
∴p-q=．
本題也可用相似求解，如圖，酌情給分．

點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．