Question

(1)問題探究

如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，過點C作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK＝∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分別為點M，N．試探究線段D₁M與線段D₂N的數(shù)量關系，并加以證明．

(2)拓展延伸

①如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K₁H₁，K₂H₂，分別交直線AB于點H₁，H₂，使∠AH₁K₁＝∠BH₂K₂＝∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分別為點M，N．D₁M＝D₂N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變．D₁M＝D₂N是否仍成立？(要求：在圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)D1M＝D2N．1分 　　證明：∵∠ACD1＝90°， 　　∴∠ACH＋∠D1CK＝90° 　　∵∠AHK＝∠ACD1＝90°， 　　∴∠ACH＋∠HAC＝90° 　　∴∠D1CK＝∠HAC；2分 　　∵AC＝CD1， 　　∴△ACH≌△CD1M 　　∴D1M＝CH．3分 　　同理可證D2N＝CH 　　∴D1M＝D2N．4分 　　(2)①證明：D1M＝D2N成立．5分 　　過點C作CG⊥AB，垂足為點G． 　　∵∠H1AC＋∠ACH1＋∠AH1C＝180°， 　　∠D1CM＋∠ACH1＋∠ACD1＝180°， 　　∠AH1C＝∠ACD1， 　　∴∠H1AC＝∠D1CM．6分 　　∵AC＝CD1，∠AGC＝∠CMD1＝90°， 　　∴△ACG≌△CD1M． 　　∴CG＝D1M．7分 　　同理可證CG＝D2N． 　　∴D1M＝D2N．8分 　�、谧鲌D正確．9分 　　D1M＝D2N還成立．10分