Question

如圖（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，∠AOB的平分線(xiàn)OC交AB于C，過(guò)O點(diǎn)作與OB垂直的直線(xiàn)OF．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線(xiàn)BC→CO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折CO→OF方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求OC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在OC上、點(diǎn)Q在OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），PQ與OA交于點(diǎn)E，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPE為等腰三角形？求出所有滿(mǎn)足條件的t的值．

Answer 1

（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，
sin∠AOB=

AB

OB

=

6

4 3

=

3

2

，則∠AOB=60°．
因?yàn)镺C平分∠AOB，∴∠AOC=30°，OA=

1

2

OB=2

3

．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，AC=

OA

3

=2，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本題分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在BC上、點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（0＜t＜4）如圖（1）CP=4-t，CQ=t
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OC交OC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=

1

2

PC=

1

2

(4-t)，PM=

3

CM=

3

2

(4-t)，
∵S△CPQ=

1

2

QC•PM，
∴S=

1

2

×t•

3

2

(4-t)=

3

4

t(4-t)．
②當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)，不能構(gòu)成△CPQ；
③當(dāng)點(diǎn)P在OC上、點(diǎn)Q在OQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)即（4＜t≤8），
如圖（2）PC=t-4，OQ=t-4，
過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OC交OC于點(diǎn)N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，ON=

1

2

OQ=

1

2

(t-4)，QN=

3

ON=

3

2

(t-4)，
所以S=

1

2

PC•QN=

1

2

×(t-4)•

3

2

(t-4)=

3

4

(t-4)2，
綜上所述S=

3 4 t(4-t)(0＜t＜4) 3 4 (t-4)2

．

（3）△OPE為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)OP=OE時(shí)，OQ=t-4，OP=8-t
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OQ于點(diǎn)H，則QH=EH=

1

2

OE，OH=

3

2

OE，

∴OQ=HQ+OH=(

1

2

+

3

2

)OE=t-4．∴OE=

2(t-4)

1+ 3

=OP=8-t，解得：t=

12+4 3

3

，
②當(dāng)EP=EO時(shí)，如圖：△OPQ為30°的直角三角形，OQ=

1

2

OP，

1

2

(8-t)=t-4，t=

16

3

．
③當(dāng)PE=PO時(shí)，PE∥OF，PE不與OF相交，故舍去．
綜上所述，當(dāng)t=

12+4 3

3

和t=

16

3

時(shí)，△OPE為等腰三角．