Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，將拋物線C₁向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C₂于點(diǎn)B，拋物線C₂的頂點(diǎn)為P，求△DBP的面積；
（3）如圖2，連接AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長交AC于點(diǎn)F，試證明：FC·（AC+EC）為定值．

Answer 1

（1）y=x²-2x+1；（2）3；（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計(jì)算FC（AC+EC）為定值．

試題分析：（1）已知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入即可；
（2）根據(jù)平移規(guī)律求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即P（2，-1），根據(jù)頂點(diǎn)式，得平移后拋物線解析式y(tǒng)=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；
（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計(jì)算FC（AC+EC）為定值．
（1）∵拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；
（2）根據(jù)題意，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)P（2，-1）
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，
∴QM ：EC ="PM" ：PC ，即(t-2) ²：EC ="t-1" ：2 ，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，
∴QN ：FC ="BN" ：BC ，
即4-t ：FC ="3-(t" ² -4t+3) ：4 ，
得FC="4" ：t ，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）為定值8．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．