Question

如圖，在等邊三角形ABC中，以BC為直徑的半圓O與AB邊交于點D，DE⊥AC于E．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）延長ED，CB相交于點G，求AE：BG的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接圓心和切點，易利用同位角相等證得OD∥AC，那么可證得OD⊥GE，那么DE是半圓O的切線；
（2）比例線段中AE在特殊的直角三角形中，那么應把BG進行轉移，轉移到相同的直角三角形中．注意利用前面得到的平行．
解答：（1）證明：連接OD，（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=60°，
∴∠DOB=∠C=60°．
∴OD∥AC．（2分）
∵DE⊥AC于E，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圓O的切線．（3分）

（2）解：∵∠ABC=∠C=∠A=60°，DE⊥AC，
∴∠ADE=30°，．
∵DE⊥AC于E，∠C=60°，
∴∠ADE=∠G=30°．
∵∠ADE=∠BDG，
∴∠G=∠BDG，
∴BD=BG．（4分）
∵OD∥AC，O是BC中點，
∴點D是AB中點，即DA=DB，
∴BG=DA．
∴==．（5分）
點評：連接圓心和切點是常用的輔助線作法；當圖中已有一直角時，證直線為圓的切線，通常采用證平行得到相同的垂直，注意使用特殊的直角三角形進行求解．