Question

如圖，AB為⊙O的直徑，在BA的延長線上取點(diǎn)P，使PA=

1

2

AB，弦CD⊥AB且過OA的中點(diǎn)，連接AC、PC．
（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AC=2，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，CD上的點(diǎn)Q為△CAF的內(nèi)心，求線段DQ的長．

Answer 1

分析：（1）連OC，先證明三角形AOC是等邊三角形再證明∠PCO=90°．
（2）先求出CD的長，再證出三角形ACO是直角三角形，并求出它的三邊長，這樣就可求出它的內(nèi)切圓半徑，求出CQ，最后得到DQ．

解答：解：（1）連OC，
∵弦CD⊥AB且過OA的中點(diǎn)，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°．
又∵PA=

1

2

AB，
∴PA=AO=AC．
∴△PAO是直角三角形即∠PCO=90°．
∴直線PC是⊙O的切線．

（2）過Q點(diǎn)作QE⊥AC，Q點(diǎn)為垂足．
∵CD上的點(diǎn)Q為△CAF的內(nèi)心，而CD是平分∠ACO的．
∴C，O，F(xiàn)共線即CF為直徑．
若AC=2，則等邊三角形OAC的高CH為

3

，所以CD=2

3

．
∠F=30°，則CF=4，AF=2

3

，所以直角三角形ACF的內(nèi)切圓半徑QE=

2+ 2 3  -4

2

=

2 3 -2

2

．
∴CQ=2QE=2

3

-2．
∴DQ=2

3

-（2

3

-2）=2．

點(diǎn)評(píng)：掌握直線是圓的切線的幾何證明方法就是轉(zhuǎn)化為證明垂直．含30°的直角三角形三邊的關(guān)系記住對(duì)幾何計(jì)算很有幫助．掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)即它是三條角平分線的交點(diǎn)和它到三邊的距離相等，對(duì)于直角三角形還要記住它的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊和與斜邊差一半．