Question

（2012•鎮(zhèn)江）如圖，AB是⊙O的直徑，DF⊥AB于點(diǎn)D，交弦AC于點(diǎn)E，F(xiàn)C=FE．
（1）求證：FC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠ECF=

2

5

，求弦AC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證FC是⊙O的切線，只需證明FC⊥OC即可；
（2）連接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圓周角定理求得BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×

2

5

=4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的長度即可．

解答：（1）證明：連接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等邊對(duì)等角）；
又∵∠AED=∠FEC（對(duì)頂角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代換）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等邊對(duì)等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切線；

（2）解：連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，⊙O的半徑為5，
∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），AB=2OA=10，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；
由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×

2

5

=4，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-42

=2

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．