Question

在平面直角坐標系中給定以下五個點A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（

1

2

，

7

4

），E（1，0）．
（1）請從五點中任選三點，求一條以平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點坐標和對稱軸，并畫出草圖；
（3）已知點F（-1，

15

4

）在拋物線的對稱軸上，直線y=

17

4

過點G（-1，

17

4

）且垂直于對稱軸．驗證：以E（1，0）為圓心，EF為半徑的圓與直線y=

17

4

相切．請你進一步驗證，以拋物線上的點D（

1

2

，

7

4

）為圓心DF為半徑的圓也與直線y=

17

4

相切．由此你能猜想到怎樣的結論．

Answer 1

分析：首先用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用拋物線的公式求得拋物線的頂點坐標及對稱軸，構造直角三角形，利用勾股定理求得線段EF、DF的長，再與點E、D到直線y=

17

4

的距離比較，得到點E和點D分別到點F的距離等于各自到直線y=

17

4

的距離．
最后可猜想：以拋物線上任意一點P為圓心，以PF為半徑的圓與直線y=

17

4

相切．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
且過點A（-3，0），C（0，3），E（1，0），
由（0，3）在y=ax²+bx+cH．
則c=3．
得方程組

9a-3b+3=0 a+b+c=0

，
解得a=-1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
得頂點坐標為（-1，4），對稱軸為x=-1．

（3）①連接EF，過點E作直線y=

17

4

的垂線，垂足為N，
則EN=HG=

17

4

．
在Rt△FHE中，HE=2，HF=

15

4

，
∴EF=

HE2+HF2

=

17

4

，
∴EF=EN，
∴以E點為圓心，EF為半徑的⊙E與直線y=

17

4

相切．
②連接DF過點D作直線y=

17

4

的垂線，垂足為M．過點D作DQ⊥GH垂足Q，
則DM=QG=

17

4

-

7

4

=

10

4

=

5

2

．
在Rt△FQD中，QD=

3

2

，QF=

15

4

-

7

4

=

8

4

=2．FD=

QF2+QD2

=

5

2

．
∴以D點為圓心DF為半徑的⊙D與直線y=

17

4

相切．
③以拋物線上任意一點P為圓心，以PF為半徑的圓與直線y=

17

4

相切．
說明：解答題只提供了一種答案，如有其他解法只要正確，可參照本評分標準按步驟賦分．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，及由拋物線的解析式求頂點坐標和對稱軸的方法；
第3問利用構造直角三角形，勾股定理求線段的長，及定點到定直線的距離的求法；
最后的猜想實際是說明了拋物線是由到定點和定直線距離相等的點的集合．