Question

如圖，函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（m，n），其中m＞1，過點A作x軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB，AC與BD相交于點E．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標；
（2）四邊形ABCD能否成為平行四邊形？若能，求點B的坐標，若不能說明理由；
（3）當AC=BD時，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）將A的坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B的坐標代入反比例解析式中，求出mn的值，三角形ABD的面積由BD為底邊，AE為高，利用三角形面積公式來求，由B的坐標得到BD=m，由AC-EC表示出AE，由已知的面積，利用面積公式列出關(guān)系式，將mn的值代入，求出m的值，進而確定出n的值，即可得到B的坐標；
（2）假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到BD與AC互相平分，得到E為AC的中點，E為BD的中點，由A的坐標求出E的坐標，進而確定出B的坐標，將B坐標代入反比例解析式檢驗，B在反比例圖象上，故假設(shè)正確，四邊形ABCD能為平行四邊形；
（3）由由AC=BD，得到A的縱坐標與B的橫坐標相等，確定出B的橫坐標，將B橫坐標代入反比例解析式中求出B的縱坐標，得到B的坐標，進而確定出E的坐標，得到DE=CE=1，由AC=BD，利用等式的性質(zhì)得到AE=BE，進而得到兩對對應(yīng)邊成比例，且由對頂角相等得到夾角相等，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，得到三角形DEC與三角形AEB相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到CD與AB平行，而在直角三角形ADE與直角三角形BEC中，DE=EC，AE=BE，利用勾股定理得到AD=BC，且AD與BC不平行，可得出四邊形ABCD為等腰梯形．

解答：解：（1）將A（1，4）代入反比例解析式得：4=

k

1

，即k=4，
∴反比例解析式為y=

4

x

，將B（m，n）代入得：mn=4，
∴BD=m，AE=AC-EC=4-n，
∵S_△ABD=

1

2

AE•BD=

1

2

m（4-n）=4，
∴2m-

1

2

mn=2m-2=4，解得：m=3，
∴n=

4

3

，
則B（3，

4

3

）；
（2）四邊形ABCD能成為平行四邊形．理由為：
若四邊形ABCD為平行四邊形，則AC、BD互相平分，即E為AC、BD的中點，
∵A（1，4），
∴E（1，2），B（2，2），
將x=2代入反比例解析式得：y=

4

2

=2，即B在反比例解析式y(tǒng)=

4

x

上，
則四邊形ABCD能成為平行四邊形；
（3）證明：∵AC=BD，A（1，4），B（m，n）
∴m=4，又B（m，n）在反比例函數(shù)y=

4

x

上，
∴B（4，1），
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴E（1，1），即DE=CE=1，
∵AC=BD，
∴AC-EC=BD-DE，即AE=EB=3，
在△DEC和△BAE中，∠CED=∠AEB，

DE

EB

=

EC

AE

=

1

3

，
∴△DEC∽△BAE，
∴∠CDE=∠ABE，
∴CD∥AB，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，由AE=BE=3，DE=CE=1，
根據(jù)勾股定理得：AD=BC=

10

，
又AD與BC不平行，
則四邊形ABCD為等腰梯形．

點評：此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰梯形的判定，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．