Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝2經(jīng)過拋物線上兩點(diǎn)D，E．已知點(diǎn)D，E的橫坐標(biāo)分別為x1，x2且滿足x1+x2＝3，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+n．

（1）求n的值及拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)Q是直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)Q在什么位置上時(shí)，△QOB的周長最��？求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QOB周長的最小值；

（3）如圖2，M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線BC和拋物線分別交于點(diǎn)P，N．若點(diǎn)F是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使以點(diǎn)G，F，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4;（2）4+4;（3）存在,G坐標(biāo)為（）或（）或（﹣）．

【解析】

（1）由拋物線過點(diǎn)C可求C的坐標(biāo)，由直線也過點(diǎn)C即求出n的值；得到n的值即有直線BC的關(guān)系式，即能求BC與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，又由DE∥x軸且其橫坐標(biāo)滿足x1+x2＝3，即得到拋物線對(duì)稱軸﹣，再把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線關(guān)系式得方程組，解得a、b的值即可；

（2）由于點(diǎn)Q在直線y＝2上運(yùn)動(dòng)，要求的是OQ+BQ的最小值，O、B是定點(diǎn)，故尋找O或B關(guān)于直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)．由C（0，4）得C與O關(guān)于直線y＝2對(duì)稱，則有CQ＝OQ，當(dāng)點(diǎn)C、Q、B在同一直線上時(shí)有最小值．求直線BC上y＝2時(shí)的橫坐標(biāo)，即為Q的坐標(biāo)．計(jì)算BC與OB的和即為△QOB周長最小值；

（3）先根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、P、N坐標(biāo)，利用P為MN中點(diǎn)的等量關(guān)系求出點(diǎn)P、M坐標(biāo)．再對(duì)菱形四個(gè)頂點(diǎn)位置作討論：①以PM為菱形的邊，此時(shí)又分兩種情況，分別是點(diǎn)F在點(diǎn)P左右側(cè)的討論．當(dāng)F在P左側(cè)時(shí)，根據(jù)菱形性質(zhì)和GM與x軸夾角為45°易求G的坐標(biāo)；當(dāng)F在P右側(cè)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性即求出G的坐標(biāo)．②以PM為菱形對(duì)角線，利用對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)即求出點(diǎn)G坐標(biāo)．

（1）當(dāng)x＝0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+4＝4，

∴C（0，4），

∵點(diǎn)C在直線BC：y＝﹣x+n上，

∴n＝4，

∵直線BC與x軸交點(diǎn)為B，﹣x+4＝0，解得：x＝4，

∴B（4，0），

∵點(diǎn)B在拋物線上，

∴16a2+4b+4＝0 ①

∵yD＝yE＝2，

∴DE∥x軸，點(diǎn)D、E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∵x1+x2＝3，

∴拋物線對(duì)稱軸為：直線x＝＝，

∴②

聯(lián)立方程①②解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+4；

（2）連接CQ，如圖1，

∵C（0，4），點(diǎn)Q是直線y＝2上一動(dòng)點(diǎn)，

∴O、C關(guān)于直線y＝2對(duì)稱，

∴CQ＝OQ，

∴當(dāng)點(diǎn)C、Q、B在同一直線上時(shí)，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，

當(dāng)﹣x+4＝2時(shí)，解得：x＝2，

∴此時(shí)，Q（2，2），

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝，

∴△QOB周長最小值為：C△QOB＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)G，

設(shè)M（m，0）（0＜m＜4），則P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+3m+4），

∵點(diǎn)P是MN中點(diǎn)，

∴MN＝2PM，

∴﹣m2+3m+4＝2（﹣m+4），

解得：m1＝1，m2＝4（舍去），

∴M（1，0），P（1，3），PM＝3，

①若PM為菱形的邊，菱形GFPM中，點(diǎn)F在點(diǎn)P左側(cè)，如圖2，延長FG交x軸于點(diǎn)H，

∵FP＝PM＝FG＝GM＝3，FG∥PM，FG∥GM，

∴∠GHM＝90°，∠GMH＝∠CBO＝45°，

∴MH＝GH＝GM＝，

∴xG＝xM﹣＝，yG＝GH＝，

∴G（，）；

②若PM為菱形的邊，菱形GFPM中，點(diǎn)F在點(diǎn)P右側(cè)，如圖3，

根據(jù)與圖2的對(duì)稱關(guān)系可得G（，﹣）

③若PM為菱形的對(duì)角線，菱形GPFM中，如圖4，

設(shè)PM與GF交于點(diǎn)I，

∴PI＝MI＝PM＝，GI＝IF，PM⊥GF，

∴GF∥x軸，yF＝yI＝yG＝，

∴∠PFI＝∠CBO＝45°，

∴GI＝IF＝PI＝，

∴xG＝xI﹣＝﹣，

∴G（﹣，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)為（）或（）或（﹣）．