Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c的頂點為P，拋物線F與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經過點A、D得到拋物線F′：y=a′x²+b′x+c′，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．
（1）當a=1，b=-2，c=3時，求點C的坐標（直接寫出答案）；
（2）若a、b、c滿足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線F′由拋物線F平移所得，開口方向和開口大小都無變化，因此a=a′=1；由于兩條拋物線都與y軸交于A點，那么c=c′=3．然后可根據拋物線F的坐標求出其頂點坐標，即可得出D點的坐標，然后將D的坐標代入拋物線F′中，即可求出拋物線F′的解析式，進而可求出C點的坐標．
（2）①與（1）的方法類似，在求出D的坐標后，將D的坐標代入拋物線F′中，即可得出關于b，b′的關系式即可得出b，b′的比例關系．
②探究四邊形OABC的形狀，無非是平行四邊形，菱形，矩形這幾種．那么首先要證的是四邊形OABC是個平行四邊形，已知了OA∥BC，只需看A，B的縱坐標是否相等，即OA是否與BC的長相等．根據拋物線F的解析式可求出P點的坐標，然后用待定系數(shù)法可求出OP所在直線的解析式．進而可求出拋物線F與直線OP的交點B的坐標，然后判斷B的縱坐標是否與A點相同，如果相同，則四邊形OABC是矩形（∠AOC=90°），如果B，A點的縱坐標不相等，那么四邊形AOCB是個直角梯形．

解答：解：（1）C（3，0）；

（2）①拋物線y=ax²+bx+c，
令x=0，則y=c，
∴A點坐標（0，c）．
∵b²=2ac，
∴

4ac-b2

4a

=

4ac-2ac

4a

=

2ac

4a

=

c

2

，
∴點P的坐標為（-

b

2a

，

c

2

）．
∵PD⊥x軸于D，∴點D的坐標為（-

b

2a

，0）．
根據題意，得a=a′，c=c′，
∴拋物線F′的解析式為y=ax²+b'x+c．
又∵拋物線F′經過點D（-

b

2a

，0），
∴0=a×

b2

4a2

+b′(-

b

2a

)+c．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
②由①得，拋物線F′為y=ax²+

3

2

bx+c．
令y=0，則ax²+

3

2

bx+c=0．
∴x₁=-

b

2a

，x₂=-

b

a

．
∵點D的橫坐標為-

b

2a

∴點C的坐標為（-

b

a

，0）．
設直線OP的解析式為y=kx．
∵點P的坐標為（-

b

2a

，

c

2

），
∴

c

2

=-

b

2a

k，
∴k=-

ac

b

=-

2ac

2b

=-

b2

2b

=-

b

2

，
∴y=-

b

2

x．
∵點B是拋物線F與直線OP的交點，
∴ax²+bx+c=-

b

2

x．
∴x₁=-

b

2a

，x₂=-

b

a

．
∵點P的橫坐標為-

b

2a

，
∴點B的橫坐標為-

b

a

．
把x=-

b

a

代入y=-

b

2

x，
得y=-

b

2

（-

b

a

）=

b2

2a

=-

2ac

2a

=c．
∴點B的坐標為（-

b

a

，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的性質、函數(shù)的平移變換、探究矩形的構成情況等重要知識點．