【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),BD是對(duì)角線.

1)求證:△ADE≌△CBF;

(2)若∠ADB是直角,則四邊形BEDF是什么四邊形?證明你的結(jié)論.

【答案】1證明見(jiàn)解析;(2)若∠ADB是直角,則四邊形BEDF是菱形,理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)由四邊形ABCD是平行四邊形,即可得AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,又由E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),可證得AE=CF,然后由SAS,即可判定△ADE≌△CBF;

(2)先證明BE與DF平行且相等,然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,再連接EF,可以證明四邊形AEFD是平行四邊形,所以AD∥EF,又AD⊥BD,所以BD⊥EF,根據(jù)菱形的判定可以得到四邊形是菱形.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,

∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),

∴AE=AB,CF=CD,

∴AE=CF,

在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(SAS);

(2)若∠ADB是直角,則四邊形BEDF是菱形,理由如下:

由(1)可得BE=DF,

又∵AB∥CD,

∴BE∥DF,BE=DF,

∴四邊形BEDF是平行四邊形,

連接EF,

ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),

∴DF∥AE,DF=AE,

∴四邊形AEFD是平行四邊形,

∴EF∥AD,

∵∠ADB是直角,

∴AD⊥BD,

∴EF⊥BD,

又∵四邊形BFDE是平行四邊形,

∴四邊形BFDE是菱形.

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