Question

有一塊兩直角邊長分別為3cm和4cm的直角三角形鐵皮，要利用它來裁剪一個正方形，有兩種方法：一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，另兩個頂點(diǎn)在兩條直角邊上，如圖（1）；另一種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上，另一個頂點(diǎn)在斜邊上，如圖（2）．兩種情形下正方形的面積哪個大？

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積關(guān)系求出AB邊上的高，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長；
（2）設(shè)出正方形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長．

解答：解：（1）因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，邊長分別為3cm和4cm，則AB=

32+42

=5．
作AB邊上的高CH，交DG于點(diǎn)Q．
于是

5CH

2

=

3×4

2

，
故CH=

12

5

cm．
易得：△DCG∽△ACB，
故：

CQ

CH

=

DG

AB

．
設(shè)正方形DEFG的邊長為xcm，
得：

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得：x=

60

37

．

（2）令A(yù)C=3cm，設(shè)正方形邊長為ycm．
易得：△ADE∽△ACB，
于是：

AD

AC

=

DE

CB

，

3-y

3

=

y

4

，
解得：y=

12

7

．
∵

60

37

＜

12

7

，
∴第二種情形下正方形的面積大．

點(diǎn)評：（1）利用面積法求出直角三角形斜邊上的高是解答此題的關(guān)鍵；
（2）可根據(jù)△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA來解答．