如圖,已知等邊△ABC,以BC為直徑作半⊙O交AB于D,DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是半⊙O的切線;
(2)若DE=
3
,求△ABC與半⊙O重合部分的面積.
分析:(1)連接OD,CD,由三角形ABC為等邊三角形,得到AC=BC,再由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到CD垂直于AB,利用三線合一得到D為AB的中點(diǎn),由O為BC中點(diǎn),得到OD為三角形ABC的中位線,利用中位線定理得到OD與AC平行,由DE垂直于AC,得到DE垂直于OD,可得出DE與圓O相切;
(2)連接BF,OF,由(1)同理得到OF為三角形ABC的中位線,即OF平行與AB,由等邊三角形的內(nèi)角為60度得到∠ABC與∠ACB為60度,利用兩直線平行同位角相等得到∠BOD與∠COF都為60度,可得出三角形BOD與三角形COF都為等邊三角形,扇形DOF的圓心角為60,由DE與BF都與AC垂直得到DE與BF平行,D為AB中點(diǎn),可得出E為AF中點(diǎn),利用中位線定理得到BF=2DE,求出BF的長(zhǎng),即為等邊三角形的高,在直角三角形BCF中,設(shè)CF=x,可得出BC=2x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出等邊三角形BOD與COF的邊長(zhǎng)與扇形的半徑,由兩小等邊三角形的面積加上扇形的面積即可求出三角形ABC與半圓重合的面積.
解答:(1)證明:連接OD,CD,
∵△ABC為等邊三角形,
∴AC=BC,
∵BC為圓O的直徑,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
∴D為AB的中點(diǎn),
又O為BC的中點(diǎn),
∴OD為△ABC的中位線,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
則DE與圓O相切;

(2)解:連接BF,OF,由(1)同理得到OF∥AB,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠FOC=∠DOB=60°,
∴∠DOF=60°,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE∥BF,
∵D為AB的中點(diǎn),
∴E為AF中點(diǎn),即DE為△ABF的中位線,
∴BF=2DE=2
3

在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
設(shè)CF=x,則BC=2x,
根據(jù)勾股定理得:(2
3
2+x2=(2x)2
解得:x=2,
∴等邊△BOD和△COF邊長(zhǎng)都為2,半圓半徑為2,
則△ABC與半圓O重合部分的面積S=2S△BOD+S扇形DOF=2×
3
4
×4+
60π×22
360
=2
3
+
3
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定,等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,三角形的中位線定理,以及扇形面積的求法,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的中位線DE的長(zhǎng)為1,
則下面結(jié)論中正確的是
 
.(填序號(hào))精英家教網(wǎng)
①AB=2;②△DAE≌△BAC;
③△DAE的周長(zhǎng)與△BAC的周長(zhǎng)之比為1:3;
④△DAE的面積與△BAC的面積之比為1:4.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,AD是BC邊上的高.
(1)在△ABC內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH(如圖①),其中E、H分別在邊AB、AC上,F(xiàn)G在邊BC上.
①設(shè)矩形的一邊FG=x,那么EF=
 
;(用含有x的代數(shù)式表示)精英家教網(wǎng)
②設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大,最大值是多少?
(2)當(dāng)矩形EFGH面積最大時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出此時(shí)點(diǎn)E的位置.(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并簡(jiǎn)要說明確定點(diǎn)E的方法)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)如圖,已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,設(shè)
n
=
AB
+
BC
,那么向量
n
的模|
n
|=
1
1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•臨夏州)[(1)-(3),10分]如圖,已知等邊△ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC(或其延長(zhǎng)線)的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.
在圖(1)中,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),此時(shí)h3=0,可得結(jié)論:h1+h2+h3=h.
在圖(2)--(5)中,點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長(zhǎng)線上、△ABC內(nèi)、△ABC外.
(1)請(qǐng)?zhí)骄浚簣D(2)--(5)中,h1、h2、h3、h之間的關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
(2)證明圖(2)所得結(jié)論;
(3)證明圖(4)所得結(jié)論.
(4)在圖(6)中,若四邊形RBCS是等腰梯形,∠B=∠C=60°,RS=n,BC=m,點(diǎn)P在梯形內(nèi),且點(diǎn)P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4,橋形的高為h,則h1、h2、h3、h4、h之間的關(guān)系為:
m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h
m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h
;圖(4)與圖(6)中的等式有何關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P、Q分別為邊AB、AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),連接PQ,以Q為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PQ按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段QD,若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),則當(dāng)運(yùn)動(dòng)
10
3
10
3
s時(shí),點(diǎn)D恰好落在BC邊上.

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