Question

（2013•南充）如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處時(shí)村莊N（參考數(shù)據(jù)；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．
（1）求M，N兩村之間的距離；
（2）要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站P，使得M，N兩村到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度．
（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出MG的長度即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，如圖：

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，
∵sin36.5°=

CM

5

=0.6，
∴CM=3，AC=

AM2-CM2

=4km，
在Rt△ANE中，∠NAE=90°-53.5°=36.5°，AN=10km，
∵sin36.5°=

NE

10

=0.6，
∴NE=6，AE=

AN2-NE2

=8km，
∴MD=CD-CM=AE-CM=5km，ND=NE-DE=NE-AC=2km，
在Rt△MND中，MN=

MD2+ND2

=

29

km．

（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，
此時(shí)PM+PN=PM+PG=MG，
在Rt△MDG中，MG=

52+102

=

125

=5

5

km．
答：最短距離為5

5

km．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長度，難度較大．