Question

已知：如圖，P為直徑AB上一點，EF、CD為過點P的兩條弦，且∠DPB=∠EPB．
求證：
（1）CD=EF；
（2）

CE

=

DF

．

Answer 1

分析：（1）過點O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，根據全等三角形的判定方法得到△ODN≌△OEM，根據對應邊相等，從而不難求得結論；
（2）根據CD=EF從而得到

CD

=

EF

由等量減去等量還是等量即可得到結論．

解答：證明：（1）過點O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，連接OD、OE，
∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON．
又∵OE=OD，
∵∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．
∴DN=EM．
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴點M是EF的中點，點N是CD的中點．
∴EM=

1

2

EF，DN=

1

2

CD．
∴CD=EF．

（2）∵CD=EF，
∴

CD

=

EF

，
∴

CD

-

FC

=

EF

-

FC

．
即

CE

=

DF

．

點評：本題利用了垂徑定理和全等三角形的判定和性質及在同圓劃等圓中，等弧對等弦，等弦對等弧求解．