(2009•萊蕪)如圖,⊙O的直徑AB=4,C為圓周上一點(diǎn),AC=2,過點(diǎn)C作⊙O的切線l,過點(diǎn)B作l的垂線BD,垂足為D,BD與⊙O交于點(diǎn)E.
(1)求∠AEC的度數(shù);
(2)求證:四邊形OBEC是菱形.
分析:(1)由直徑AB的長,求出半徑OA及OC的長,再由AC的長,得到三角形OAC三邊相等,可得此三角形為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOC=60°,再根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍,即可得出∠AEC的度數(shù);
(2)由直線l與圓O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與直線l垂直,又BD與直線l垂直,根據(jù)在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩直線平行得到BE與OC平行,根據(jù)兩直線平行同位角相等,可得出∠B=∠AOC=60°,再由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,可得出∠AED為直角,用∠AED-∠AEC求出∠DEC=60°,可得出一對同位角相等,根據(jù)同位角相等兩直線平行,可得出EC與OB平行,根據(jù)兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形可得出四邊形OBEC為平行四邊形,再由半徑OC=OB,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出OBEC為菱形,得證.
解答:解:(1)∵OA=OC=
1
2
AB
=2,AC=2,
∴OA=OC=AC,
∴△OAC為等邊三角形,(1分)
∴∠AOC=60°,(2分)
∵圓周角∠AEC與圓心角∠AOC都對弧
AC

∴∠AEC=
1
2
∠AOC=30°;(3分)
(2)∵直線l切⊙O于C,
∴OC⊥CD,(4分)
又BD⊥CD,
∴OC∥BD,(5分)
∴∠B=∠AOC=60°,
∵AB為⊙O直徑,
∴∠AEB=90°,又∠AEC=30°,
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°,
∴∠B=∠DEC,
∴CE∥OB,(7分)
∴四邊形OBEC為平行四邊形,(8分)
又OB=OC,
∴四邊形OBEC為菱形.(9分)
點(diǎn)評:此題考查了切線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,平行線的判定與性質(zhì),平行四邊形及菱形的判定,是一道綜合性較強(qiáng)的試題,學(xué)生做題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形,弄清題中的條件,找出已知與未知間的聯(lián)系來解決問題.熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵.
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