Question

如圖，把兩個(gè)全等的腰長為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD，N是斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若E、F為AC的三等分點(diǎn)，求證：∠ADE=∠CBF；
（2）若M是DC上一點(diǎn)，且DM=2，求DN+MN的最小值；
（注：計(jì)算時(shí)可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，則AB²=AC²+BC²）
（3）若點(diǎn)P在射線BC上，且NB=NP，求證：NP⊥ND．

Answer 1

分析：（1）用SAS證明△ADE≌△CBF，從而得出∠ADE=∠CBF；
（2）由于D、B關(guān)于AC對稱，所以當(dāng)B、N、M在一直線上時(shí)，DN+MN最�。�根據(jù)勾股定理可求出BM的長度，從而得出DN+MN的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線BC上時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在線段BC上（P與B、C不重合）；②點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；③點(diǎn)P在BC延長線上．針對每一種情況，都證明∠DNP=90°，然后根據(jù)垂直的定義，得出NP⊥ND．

解答：解：（1）證明：∵E、F為AC的三等分點(diǎn)，
∴AE=

1

3

AC，CF=

1

3

AC，∴AE=CF．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠BAC=∠BCA=45°，
同理∠DAC=45°，
∴∠BCA=∠DAC．
∵△ADE≌△CBF，
∴CB=AD，
∴在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠DAE=∠BCF，AD=CB，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠ADE=∠CBF．

（2）∵D、B關(guān)于AC對稱，所以當(dāng)B、N、M在一直線上時(shí)，DN+MN最�。�（4分）
∵AB=8，DM=2，∴CM=6．
在Rt△MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，根據(jù)題中定理可求出BM=10．
∴DN+MN最小值為10．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上（P與B、C不重合）時(shí)，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∵D、B關(guān)于AC對稱，
∴∠NBP=∠NDC，
∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°
∴∠DNP=360°-（∠BCD+∠NDC+∠NPC）=90°
∴NP⊥ND．

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N恰好在AC的中點(diǎn)處，
∵∠NDC=∠NCD=45°，∴∠DNC=90°．
∴NP⊥ND．

③當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，
∵NB=NP，∴∠NBP=∠NPB．
∴D、B關(guān)于AC對稱，∠NBP=∠NDC，
∴∠NPC=∠NDC，
又∵∠DHN=∠CHP，
∴∠DNP=∠DCP=90°，
∴NP⊥ND．

點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的判定，軸對稱--最短路線問題及垂直的判定，有一定難度．