Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O交AC于E，與BC相切于點(diǎn)F，連接AF．

（1）求證：∠BAF＝∠CAF；

（2）若AC＝3，BC＝4，求BD和CE的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，若AF與DE交于H，求FHFA的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），；（3）

【解析】

（1）連結(jié)OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥BC，則易得OF∥AC，所以∠OFA＝∠CAF，加上∠OAF＝∠OFA，則∠BAF＝∠CAF；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，OF與DE交于點(diǎn)P，如圖，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB＝10，再證明△BOF∽△BAC，利用相似比計(jì)算出r＝ ，則BD＝BA﹣AD＝ ；接著根據(jù)圓周角定理由AD為⊙O的直徑得到∠AED＝90°，易得DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可計(jì)算出CE＝ ；

（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理和勾股定理，分別求出AF，HF的長(zhǎng)，最后計(jì)算FHFA的值．

證明：（1）連結(jié)OF，如圖，

∵⊙O與BC相切于點(diǎn)F，

∴OF⊥BC，

∵∠ACB＝90°，

∴OF∥AC，

∴∠OFA＝∠CAF，

而OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠BAF＝∠CAF；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，OF與DE交于點(diǎn)P，如圖，

在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝ ＝ ＝5，

∵OF∥AC，

∴△BOF∽△BAC，

∴

∴

∴r＝

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣2× ＝，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠AED＝90°，

而∠C＝90°，

∴DE∥BC，

∴，

∴

∴CE＝，

（3）∵OF∥AC，

∴，

∴

∴CF＝，

∴AF＝

∵DE∥BC，

∴，

∴

∴FH＝

∴FHFA＝＝