Question

（1）教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無(wú)字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a²+b²=c²．圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．

（2）試用勾股定理解決以下問題：
如果直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊上的高為______
（3）試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋（a-2b）²=a²-4ab+4b²，畫在下面的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）=a²+ab+b²，
也利用表示為ab+c²+ab，
∴a²+ab+b²=ab+c²+ab，即a²+b²=c²；

（2）∵直角三角形的兩直角邊分別為3，4，
∴斜邊為5，
∵設(shè)斜邊上的高為h，直角三角形的面積為×3×4=×5×h，
∴h=；

（3）∵圖形面積為：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴邊長(zhǎng)為a-2b，
由此可畫出的圖形為：

故答案為：（2）．
分析：（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；
（2）由兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，再利用面積法即可求出斜邊上的高；
（3）已知圖形面積的表達(dá)式，即可根據(jù)表達(dá)式得出圖形的邊長(zhǎng)的表達(dá)式，即可畫出圖形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)用以及由多項(xiàng)式畫圖形的創(chuàng)新題型，此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個(gè)東西的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．