如圖甲,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=45°,等腰直角△DCE中,∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上.
(1)問B、C、E三點(diǎn)在一條直線上嗎?為什么?
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),試求的值;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖乙),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),則=______
【答案】分析:(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BCA=90°,∠DCE是直角,即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°;
(2)連接BD,AE,ON,延長(zhǎng)BD交AE于F,先證明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)(2)中證明方法,利用四邊形內(nèi)角和得出BD1⊥AE1,進(jìn)而求出即可.
解答:解:(1)在一條直線上.
理由如下:
∵AB為⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵△DCE為等腰直角三角形,
∴∠ACE=90°,
∴∠BCE=90°+90°=180°,
∴B、C、E三點(diǎn)共線.                                               

(2)連接BD,AE,ON,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,
∴BC=AC,
在△BCD和△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE,
∴AE=BD,∠DBE=∠EAC,
∴∠AEB+∠EBD=90°,
∴BD⊥AE,
∵O,N為中點(diǎn),
∴ON∥BD,ON=BD,
同理:OM∥AE,OM=AE,
∴OM⊥ON,OM=ON,
∴MN=OM,
=,

(3)成立.
理由如下:連接BD 1,AE1,ON 1,延長(zhǎng)BD1交AE于點(diǎn)F,
和(2)一樣,易證得△BCD1≌△ACE1,∴∠E1AC=∠FBC,
∠BD1C=∠AE1C,
∴∠E1FB+∠AE1C+∠D1BC+90°+∠D1CB=360°(四邊形內(nèi)角和定理),
又∵∠AE1C+∠D1BC+∠D1CB=180°,
∴∠E1FB+90°+180°=360°,
∴∠E1FB=90°,
∴BD1⊥AE1,
可得△ON1M 1為等腰直角三角形,
從而有M1N 1=OM 1
故答案為:
點(diǎn)評(píng):此題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì);也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
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(1)問B、C、E三點(diǎn)在一條直線上嗎?為什么?
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),試求
MN
OM
的值;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖乙),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),則
MN
OM
=
2
2

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(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<90°)后,記為△DCE(圖乙),若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),則=____

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已知:⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)B作CD⊥AB,分別交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)C、D。
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(2)若AC=AD,
①如圖乙,連接BO2、O1O2,求證:四邊形O1CBO2是平行四邊形;
②若點(diǎn)O1在⊙O2外,延長(zhǎng)O2O1交⊙O1于點(diǎn)M,在劣弧上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合),EB的延長(zhǎng)線交優(yōu)弧于點(diǎn)F,如圖丙所示,連接AE、AF,則AE______AB(請(qǐng)?jiān)跈M線上填上“≥、≤、<、>”這四個(gè)不等號(hào)中的一個(gè))并加以證明。

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