Question

如圖，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC=DC

（1）證明：△C′BD≌△B′DC；
（2）證明：△AC′D≌△DB′A；
（3）對△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？

Answer 1

（1）先證明：△C′BD≌△ABC，再證明△ABC≌△B′DC；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以證明：△AC′D≌△DB′A；
（3）由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵．

試題分析：（1）先證明：△C′BD≌△ABC，再證明△ABC≌△B′DC；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以證明：△AC′D≌△DB′A；
（3）由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵．
（1）△C′BD與△ABC中，BC=DC，AB=BC^′，∠C^′BD=60°+∠ABD=∠ABC，
∴△C^′BD≌△ABC，∴C^′D=AC
又在△BCA與△DCB^′中，BC=DC，AC=B^′C，∠ACB=∠B′CD=60°，
∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．
∴△C′BD≌△B′DC
（2）由（1）的結(jié)論知：
C′D=B′C=AB′，
B′D=BC′=AC′，
又∵AD=AD，
∴△AC′D≌△DB′A．
（3）S_△AB′C＞S_△ABC′＞S_△ABC＞S_△A′BC；
S_△AB′C=，
S_△A′BC=，
S_△ABC′=，
S_△ABC=，
因為AB²=（AC²+BC²﹣2AC×BC×cos60°）
整理得S_△ACB′+S_△BCA′=S_△ABC′+S_△ABC

點評：考查全等三角形的證明，考查在三角形中，已知兩邊和夾角求第三邊的計算．