Question

【題目】如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（s，t）在拋物線y= x2+1上，點(diǎn)P到x軸的距離記為m，PA=n．

（1）若s=4，分別求出m、n的值，并比較m與n的大小關(guān)系；
（2）若點(diǎn)P是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1）中m與n的大小關(guān)系是否仍成立？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，過點(diǎn)P的直線y=kx（k≠0）與拋物線交于另一點(diǎn)Q連接PA、QA，是否存在k使得PA=2QA？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)舉例說明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當(dāng)s=4時(shí)，點(diǎn)P（s，t）在拋物線y= x2+1上，

∴t=5，

∵點(diǎn)P到x軸的距離記為m，

∴m=5，

∴P（4，5）

∵A（0，2），

∴PA= =5，

∴m=n，

∴m=5，n=5，m=n

（2）

解：m=n 仍然成立．

設(shè)P（s， s2+1），

∴m= s2+1，

∴n= = s2+1，

∴m=n 仍然成立

（3）

解：如圖，

分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，

∵PA=2QA，

由（2）知，PN=2QM，

∵△QOM∽△PON，

∴ON=2OM，

設(shè)Q（a， a2+1），

∴P[2a， （2a）2+1]，

由PN=2QM得， （2a）2+1=2（ a2+1），

∴a= ，

當(dāng)a= 時(shí)，

∴P（2 ，3），

∴k= ；

當(dāng)a=﹣ 時(shí)，

∴P（﹣2 ，3），

∴k=﹣ ；

∴k=±

【解析】（1）根據(jù)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式中，求出t=5，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出PA，即可；（2）設(shè)出點(diǎn)P（S， S2+1），求出m，n即可；（3）分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，由△QOM∽△PON得到ON=2OM，由PN=2QM建立方程， （2a）2+1=2（ a2+1），求出a= ，再分兩種情況計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�