Question

已知點O為等邊△ABD的邊BD的中點，現(xiàn)將一個∠α=120゜的角放在點O處，∠α的兩邊分別交直線AB、AD于E、F．
（1）如圖1，當(dāng)點F與A重合時，求證：OE=OF，AE+AF=

3

2

AB；
（2）如圖2，當(dāng)點F在線段AD上（不與A、D重合時），上述兩結(jié)論是否成立，并證明；
（3）如圖3，當(dāng)點F在DA的延長線上時，AE、AF、AB之間的關(guān)系式為

AE-AF=1.5AB

．

Answer 1

分析：（1）等邊△ABD的邊長為2a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以求出OD=OB=BE=a，由勾股定理就可以求出OA的值，就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，過點O作OC∥AB交AD于點C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，進(jìn)而可以得出結(jié)論；
（3）如圖3，過點O作OC∥AB交AD于點C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，進(jìn)而可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°
∵點O是BD的中點，
∴DO=BO=

1

2

BD．∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠BAO=30°．
設(shè)AB=AD=BD=2a，
∴DO=BO=a，
∵∠AOE=120°，
∴∠E=30°，
∴∠BAO=∠E，
∴AO=EO，即FO=EO，
∵AE+AF=3a，AB=2a，
∴AE+AF=

3

2

AB．
（2）證明：如圖2，過點O作OC∥AB交AD于點C，
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°，
∴∠DOC=60°，∠ACO=∠BOC=120°．
∴△CDO是等邊三角形，
∴CO=DO，
∴CO=BO=AC．
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠OCF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB．
在△COF和△BOE中，

∠OCF=∠OBE CO=BO ∠FOC=∠EOB

，
∴△COF≌△BOE（ASA）．
∴FC=EB．OF=OE．
∵AE+AF=AB+BE+AF，
∴AE+AF=AB+AC
設(shè)AB=AD=BD=2a，
∴DO=BO=a，
∴AB+AC=3a，
∴AB+AC=

3

2

AB，
∴AE+AF=

3

2

AB．
（3）如圖3，過點O作OC∥AB交AD于點C，
∴∠DCO=∠A=∠DCO=∠ABD=60°，
∴∠DOC=60°，∠ACO=∠BOC=120°．
∴△CDO是等邊三角形，
∴CO=DO，
∴CO=BO=AC．
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD．∠DAB=∠ABD=∠D=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠OCF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠COF+∠FOB=∠BOC=120°
∴∠FOC=∠EOB．
在△COF和△BOE中，

∠OCF=∠OBE CO=BO ∠FOC=∠EOB

，
∴△COF≌△BOE（ASA）．
∴FC=EB．OF=OE．
∵AE=AB+BE，
∴AE=AB+CF，
∴AE=AB+AC+AF，
∴AE-AF=AB+AC．
∵AB+AC=

3

2

AB，
∴AE-AF=

3

2

AB．
故答案為：AE-AF=

3

2

AB．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，線段中點的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時正確作輔助線證明三角形全等是關(guān)鍵．