Question

23、根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結(jié)論．
（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作圖：
②猜想：
③驗證：
（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．

①作圖：
②猜想：
③驗證：

Answer 1

分析：（1）①痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，
②利用各角之間的關(guān)系得出∠A+∠B=90°；
③可根據(jù)△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．
（2）①痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可．
②利用各角之間的關(guān)系得出∠B=3∠A；
③利用特殊角∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．

解答：解：（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，
在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求（2分）
②猜想：∠A+∠B=90°，（4分）
③驗證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．（5分）

（2）答：①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB的垂直平分線，或作∠ABD=∠A．
在邊AC上找出所需要的點D，則直線BD即為所求（6分）
②猜想：∠B=3∠A（8分）
③驗證：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．（9分）．

點評：此題主要考查了垂直平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)作出圖形是解決問題的關(guān)鍵．