Question

已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB中點(diǎn)，將Rt△DEF繞著點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H．
（1）猜想：在旋轉(zhuǎn)過程中，AG與DH的數(shù)量關(guān)系是：______；
（2）就旋轉(zhuǎn)角α的情況，請選擇圖②、③、④中的一種情況，對你的猜想進(jìn)行證明．
友情提示：若選擇圖②（即α=30°時(shí)），滿分為8分；若選擇圖③（即α=60°時(shí)），滿分為10分；選擇圖④（即任意情況0°＜α＜90°時(shí)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出DH=BD，AG=AD即可；
（2）求出∠AMD=90°=∠CMD，得出矩形CMDN，推出∠DNB=90°，根據(jù)直角推出∠MDA=∠B，∠A=∠NDB，根據(jù)AAS證△ADM和△DBN全等，推出AM=DN，根據(jù)AAS證△AGM和△DHN全等即可．
解答：解：（1）AG和DH的數(shù)量關(guān)系是相等，
理由是：如圖2，∵∠ACB=90°，∠A=30°，D為AB中點(diǎn)，
∴∠B=60°，CD=BD=AD，
∴△CDB是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，CD=BD=BC，
∵CH⊥AB，
∴DH=BH=DB，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDA+∠CDB=90°，
∴∠MDA=90°-60°=30°=∠A，
∴AM=MD，
∵M(jìn)G⊥AD，
∴AG=GD=AD，
∵AD=BD，
∴AG=DH．

故答案為：相等．

（2）結(jié)論是AG=DH，
證明：選圖3，
∵∠A=30°，∠EDA=α=60°，
∴∠AMD=90°=∠CMD，
∵∠C=∠EDF=90°，
∴四邊形CMDN是矩形，
∴∠CND=90°=∠DNB，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°=∠EDA，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDB=180°-90°-60°=30°=∠A，
在△AMD和△DNB中
，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN，
∵M(jìn)G⊥AB，NH⊥AB，
∴∠MGA=∠NHD=90°，
在△AGM和△DHN中
，
∴△AGM≌△DHN，
∴AG=DH．
選④
證明：∵在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
∵∠AGM=∠BHN=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴=①，
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴=②，
①×②得：•=•，
=，
=，
∴由比例性質(zhì)得：=，
即=，
∵AD=BD，
∴AG=DH．
點(diǎn)評：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是找出兩個全等的三角形，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)推出結(jié)論．題型較好，有一定的規(guī)律性．