【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0),且OC=3OA,直線y=x+m經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)(-1,2);(3)(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).

【解析】

試題分析:(1)先把點(diǎn)B代入y=x+m,求得m的值,求得C的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;

(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。褁=-1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);

(3)設(shè)P(-1,t),又因?yàn)锽(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:(1)把B(-3,0)代入y=x+m,

得-3+m=0,m=3,

∴直線的解析式為y=x+3;

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

∵OC=3OA,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),

,解得,

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;

(2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

∴對(duì)稱軸是直線x=-1,

設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MA+MC的值最。

把x=-1代入直線y=x+3得,y=2,

∴M(-1,2),

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(-1,2);

(3)設(shè)P(-1,t),又∵B(-3,0),C(0,3),

∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),則BC2+PB2=PC2

:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則BC2+PC2=PB2

:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2

:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=;

綜上所述P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).

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